Предел функции — это не просто точка на графике, а поведение функции в момент приближения к ней. Студенты часто путают понятие предела с вычислением значения в точке. Но предел — это путь, а не результат.
Основные методы вычисления
Самый простой способ — подставить значение x и посмотреть, к чему стремится функция. Но если это приводит к неопределенностям (0/0, ∞/∞), нужен более хитрый подход.
Метод Лопиталя-Гопиталя
Это классика для неопределенностей 0/0 и ∞/∞. Правило простое: если подстановка дает 0/0, берем производные числителя и знаменателя и делим их. Повторяем, пока не исчезнет неопределенность.
Пример: предел (sin x)/x при x → 0. Подстановка дает 0/0. Производная sin x — cos x, производная x — 1. Предел cos x/1 при x→0 равен 1.
Рационализация
Если в знаменателе корень, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Это уберет корень из знаменателя и раскроет скобки.
Пример: предел (√(x+1)−1)/x при x→0. Умножаем на сопряженное (√(x+1)+1). Получаем (x+1−1)/(x(√(x+1)+1)) = 1/(√(x+1)+1) → 1/2.
Вынесение общего множителя
Если многочлен имеет общий множитель, вынесите его за скобки. Это часто снимает неопределенность.
Особые случаи
Пределы на бесконечности требуют учета старших степеней. Если x → ∞, то старшие степени растут быстрее всего.
Пример: предел (2x²+3x)/(5x²+x+1) при x→∞. Делим числитель и знаменатель на x²: получаем (2+3/x)/(5+1/x+1/x²) → 2/5.
Тригонометрические пределы
Здесь важны известные пределы: (sin x)/x → 1, (1−cos x)/x² → 1/2. Используйте их как основу.
Как вычислить предел функции lim
Главное — понять тип неопределенности. Если это 0/0 — Лопиталь. Если это корень — рационализация. Если бесконечность — сравнение степеней. Практика решает всё. Решайте по 5-7 задач в день, и методы станут автоматизмом.